Rozwiązanie zadania z Konkursu Prac Uczniowskich

(rozwiązania zadań opisanych w osobnym artykule).

Rozwiązanie oryginalnego zadania

Przy istnieniu warunku o środku symetrii zadanie było dość proste. Starczyło zauważyć, że bryły spełniające warunki zadania mieszczą się w obrazie centralnej bryły w jednokładności o skali 3 (czyli w bryle powstałej przez jej 'napompowanie' do rozmiarów trzy razy większych). Ta ostatnia ma objętość 27 razy większą niż oryginalna bryła więc nie może mieścić więcej niż 27 rozłącznych jej kopii. A z kolei taka ilość jest osiągana - przykładem kostka Rubika złożona z 27 sześcianów.

Moje rozwiązanie

Moje rozwiązanie opierało się na fajnym pomyśle i żmudnych rachunkach.

Pomysł do dziś wydaje mi się dość błyskotliwy. Otóż, podszedłem do zadania tak:

• weźmy sobie dowolny wielościan wypukły,
• weźmy sobie zbiór wszystkich wektorów, o jakie można ten wielościan 'przesunąć' tak, by wynik przesunięcia stykał się z pierwotnym wielościanem brzegiem i tylko brzegiem (można to sobie wyobrażać tak: dla każdego możliwego kierunku powoli 'suniemy' wielościanem aż znikną punkty wspólne wewnętrzne);
• jeśli zaczepimy te wszystkie wektory w jednym punkcie, narysują nam one pewną bryłę, jak się okazuje będzie to wielościan wypukły - i to mający środek symetrii (nazwijmy go roboczo wielościanem sprzężonym, w ówczesnej pracy tego słowa nie używałem ale teraz się przyda);
• co więcej, jeżeli weźmiemy jakiś spełniający warunki zadania układ wielościanów, to warunki zadania będzie spełniać też układ powstały na bazie wielościanu sprzężonego - z wykorzystaniem tych samych wektorów przesunięć;
• no i sprowadziliśmy 'trudne' zadanie do łatwiejszego zadania z olimpiady (wielościany sprzężone mają środek symetrii).

Żmudne rachunki zajmowały, o ile pamiętam, paręnaście stron papieru podaniowego i dowodziły po trochu że ... pomysł działa, czyli że wektory przesunięć pokrywają wszystkie kierunki, że bryła powstała z wektorów przesunięć jest wypukłym wielościanem, że ma środek symetrii, że przesunięcie bazowego wielościanu o wektor v styka się z nim tylko brzegiem wtedy i tylko wtedy gdy analogiczną własność ma przesunięcie wielościanu sprzężonego, że jeśli dwa różne przesunięcia wielościanu bazowego nie przecinały się wnętrzami to nie przecinają się i analogiczne przesunięcia wielościanu sprzężonego itd. Nie zacytuję, bo czystopis wysłałem, brudnopis utraciłem w kolejnych przeprowadzkach a rozwiązanie opublikowane w Delcie (3/1992) zostało przez kogoś radykalnie skrócone.